Question

某廠家擬在2006年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2006年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用)．

(1)將2006年該產品的利潤(萬元)表示為年促銷費用m(萬元)的函數；

(2)該廠家2006年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意可知，當m＝0時，x＝1(萬件)， 　　∴1＝3－k，即k＝2． 　　∴x＝． 　　由題意，得每件產品的銷售價格為1.5×(元)，則2006年的利潤 　　y＝x[1.5×]－(8＋16x＋m) 　　＝4＋8x－m 　　＝4＋8(3)－m 　　＝－m＋28(m≥0)， 　　即y＝－m＋28(m≥0)． 　　(2)下面證明當0≤m≤3時，函數y＝－m＋28是增函數． 　　設0≤m1＜m2≤3，則 　　y1－y2＝(－m1＋28)－(－m2＋28) 　　＝()＋(m2－m1) 　　＝＋(m2－m1) 　　＝(m1－m2)[－1]， 　　∵0≤m1＜m2≤3，∴m1－m2＜0，0＜(m2＋1)(m1＋1)＜16． 　　∴＞1． 　　∴－1＞0． 　　∴y1＜y2． 　　∴當0≤m≤3時，函數y＝－m＋28是增函數． 　　同理可證，當m＞3時，函數y＝－m＋28是減函數． 　　則當m＝3(萬元)時，ymin＝21(萬元)． 　　∴該廠家2006年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元．

提示：

(1)本題含有多個計算公式：年利潤＝年銷售收入－總成本；年銷售收入＝年銷售量×銷售價格；總成本＝產品成本＋促銷費用；銷售價格＝1.5×每件產品年平均成本；產品成本＝固定投入＋再投入；每件產品年平均成本＝產品成本/年銷售量． 　　(2)轉化為求函數y＝f(m)的最大值．