Question

如圖，橢圓的方程為(a＞0),其右焦點為F，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓上半部于點P₁、P₂、P₃、P₄、P₅五個點，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線l過F點(l不垂直坐標軸)，且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M(m,0)，試求m的取值范圍.

(文)某廠家擬在2006年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x=3(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件.已知2006年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用).

(1)將2006年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；

(2)該廠家2006年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

解：(1)由題意，知P₁與P₅，P₂與P₄分別關于y軸對稱.

設橢圓的左焦點為F₁，則|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a.同理,|P₂F|+|P₄F|=2a,

而|P₃F|=a,                                                                 

∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=.∴a=.

∴橢圓的方程為+y²=1.                                                  

(2)由題意，F(1，0)，設l的方程為y=k(x-1)(k≠0),

代入橢圓方程+y²=1,整理，得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.                       

∵l過橢圓的右焦點，∴l與橢圓交于不同的兩點A、B.

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),AB中點為(x₀,y₀),

則x₁+x₂=,x₀=(x₁+x₂)=,y₀=k(x₀-1)=.                

∴AB的垂直平分線方程為

y-y₀=(x-x₀).

令y=0,得m=x₀+ky₀===.

由于＞0,∴2+＞2.∴0＜m＜.                                       

(文)解：(1)由題意可知當m=0時，x=1(萬件)，∴1=3-k,即k=2.                 

∴x=.

每件產品的銷售價格為1.5×(元),                                     

∴2006年的利潤y=x(1.5×)-(8+16x+m)                                

=4+8x-m=4+8()-m                                               

=-［+(m+1)］+29(m≥0).

(2)∵m≥0時，+(m+1)≥=8,                                   

∴y≤-8+29=21,當且僅當=m+1m=3(萬元)時，y_max=21(萬元).           

∴該廠家2006年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,最大值為21萬元.