Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）當時，判斷函數的單調性；

（3）當且時，不等式在上恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的單調遞增區間是，，單調遞減區間是；（3）3.

【解析】

（1）求出及后可得切線方程．

（2），故，討論上的符號可得函數的單調區間．

（3）在上恒成立等價于在上恒成立，令，利用導數可得函數的極小值點 且，利用可化簡，從而可得整數的最大值．

（1）當時，函數的導函數,則切線的斜率，

而，所以直線的切線方程為,即．

（2）依題意可得．

所以.故，

列表討論如下：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

(3)當時，．

∵，∴原不等式可化為，即對任意恒成立．

令，則，

令，則，

∴在上單調遞增．

∵，，

∴ 存在使即，

當時，，即；

當時，，即．

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

由，得，

，

∴，∵，∴.