Question

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案．

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次．

方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次．

假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立．

（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；

（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）

Answer 1

【答案】（1）詳解見解析；（2）690，604，594；406.

【解析】

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，依題意知的可能取值，計算分布列即可；

（2）方案②中計算每個人的平均化驗次數，分別求出、3、4時的值，再與方案①比較，即可得出所求．

解：（1）由題可知，每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，

設每個人的血呈陰性反應的概率為，則，

所以個人的混合后呈陰性的概率為，呈陽性反應的概率為，

依題意知的可能取值為，，

所以的分布列為；

（2）方案②中，結合（1）知每個人的平均化驗次數為：

；

所以當時，，

此時1000人需要化驗的總次數為690次；

當時，，

此時1000人需要化驗的總次數為604次；

當時，，

此時1000人需要化驗的總次數為594次；

即時化驗次數最多，時化驗次數居中，時化驗次數最少，

而采用方案①需要化驗1000次，

所以在這三種分組情況下，相比方案①，

時化驗次數最多可以平均減少（次．