Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值，并求函數的單調區間；

（2）當時，若對任意，都有恒成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），函數的遞增區間為，遞減區間為；（2）.

【解析】

（1）由可求得的值，然后利用導數可求得函數的單調遞增區間和減區間；

（2）由題意得出對任意的恒成立，構造函數，利用導數求出函數的最小值，進而可求得實數的取值范圍.

（1），定義域為，，

由題知，解得，

則，得或（舍），

令，即且，得；

令，即且，得.

所以，函數的遞增區間為，遞減區間為；

（2）當時，對恒成立，

即，即對恒成立，

令，則，，

，令，得.

令，得；令，得.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即，.

因此，實數的取值范圍是.