Question

（1）已知f(

x

+1)=x+2，求函數f（x）的解析式；
（2）若二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由已知f(

x

+1)=x+2，我們可將式子右邊湊配成關于

x

+1的形式，進而將

x

+1全部替換成x后，即可得到答案．
（2）設出二次函數的一般式，由f（0）=1，代入可得c的值，然后把f（x+1）和f（x）分別代入到f（x+1）-f（x）=2x中，根據多項式相等時系數相等的方法即可求出a與b的值，把a，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式．

解答：解：（1）∵已知f(

x

+1)=x+2
=（

x

+1）²-2（

x

+1）+3
∴f（x）=x²-2x+3（x≥1）（不寫x的取值范圍扣2分）
（2）設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1，可知c=1．
而f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
由f（x+1）-f（x）=2x，可得2a=2，a+b=0．
因而a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1．

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解及其常用方法，考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，掌握多項式相等的條件和二次函數的性質，是一道綜合題．