Question

給出下列四個命題：
①已知f(x)+2f(

1

x

)=3x，則函數g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零點；
②對于函數f(x)=x

1

2

的定義域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數，對任意x、y∈R滿足關系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數f（x）、g（x）都是奇函數．
其中正確命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：①通過方程組求得f（x），從而求得g（x），由g（x）=0即可判斷其正誤；
②可借助圖形判斷其正誤；
③可利用f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上單調遞增，判斷③；
④分別判斷f（x），g（x）的奇偶性，即可判斷④的正誤．

解答：解：∵f（x）+2f（

1

x

）=3x①，
∴2f（x）+f（

1

x

）=

3

x

②，
②×2-①得：f（x）=

2

x

-x，
∴g（x）=f（2^x）=

2

2x

-2^x=

2-22x

2x

，由g（x）=0解得x=

1

2

，
∴函數g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零點；①正確；
②對于函數f(x)=x

1

2

的定義域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②錯誤；
對于③f（x）=|2^-x+1-1|，
∵a＜b，f（a）＜f（b），
∴f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上單調遞增，
∴f（x）=1-2^-x+1（2^-x+1-1＜0即x＞1），
∴b＞1，
∴0＜f（b）=|2^-b+1-1|=1-2^-b+1＜1，故③正確；
對于④，令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函數f（x）是奇函數，
∵x≠0時，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）=

f(x+y)+f(x-y)

2f(x)

=g（y），
∴函數g（x）是偶函數，
∵④錯誤．
綜上所述，①③正確．
故答案為：①③．

點評：考查抽象函數及其應用，解決抽象函數的問題一般應用賦值法，難點在于綜合考察函數的單調性，奇偶性，零點與最值，考察點跨度大，難度大，屬于難題．