Question

（1）已知f（x）=x²-1，g（x）=

1-x，x＞0 2-x，x＜0

，求f[g（x）]和g[f（x）]的表達式．
（2）已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）=2f（

1

x

）

x

-1，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）因g（x）分段函數，故分x＞0和x＜0兩種情況，把對應g（x）代入f（x）求f[g（x）]；當求g[f（x）]時分f（x）＞0和f（x）＜0兩種情況，并求出對應的x的范圍，再把f（x）代入g（x），最后都用分段函數表示．
（2）由方程的特點令x=

1

x

，代入已知的方程得到另外一個關于f（x）和f（

1

x

）的方程，再把f（

1

x

）原來的方程求出f（x）．

解答：解：（1）當x＞0時，g（x）=x-1，
故f[g（x）]=（x-1）²-1=x²-2x；
當x＜0時，g（x）=2-x，
故f[g（x）]=（2-x）²-1=x²-4x+3；
∴f[g（x）]=

x2-2x，x＞0 x2-4x+3，x＜0

，
當x＞1或x＜-1時，f（x）＞0，
故g[f（x）]=f（x）-1=x²-2；
當-1＜x＜1時，f（x）＜0，
故g[f（x）]=2-f（x）=3-x²．
∴g[f（x）]=

x2-2，x＞1或x＜-1 3-x2，-1＜x＜1

（2）由題意知f（x）=2f（

1

x

）

x

-1，用

1

x

代替x，得f（

1

x

）=2f（x）

1

x

-1，
將f（

1

x

）=

2f(x)

x

-1代入f（x）=2f（

1

x

）

x

-1中，
即f（x）=2×（

2f(x)

x

-1）

x

-1，
求得f（x）=

2

3

x

+

1

3

．

點評：本題考查了求函數的解析式的方法，分別用了代入法和列方程法，對于分段函數要根據自變量的范圍代入對應的關系式．