Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，且對任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義，通過f（xy）=f（x）+f（y），以及當x＞1時，f（x）＞0，即可證明f（x）在（0，+∞）上為增函數；
（2）利用函數的單調性通過f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，求出集合A，通過集合B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，求出集合B，結合A∩B=∅，對a與0的大小分類討論，求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上為增函數，證明如下：
設0＜x₁＜x₂＜+∞，則由條件“對任意正數x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，
可知：f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，
∵

x2

x1

＞1∴由已知條件f(

x2

x1

)＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0即f(x2)＞f(x1)，
因此f（x）在（0，+∞）上為增函數．…（4分）
（2）∵f（3）=1∴f（9）=2
∴f（x）＞f（x-1）+2?f（x）＞f（9x-9），
∴

x＞9x-9 x-1＞0

，
從而A={x|1＜x＜

9

8

}，…（6分）
在已知條件中，令x=y=1，得f（1）=0．                     …（7分）
∵f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0=f(1)⇒

ax+x-1

x+1

＞1⇒

ax-2

x+1

＞0⇒(ax-2)(x+1)＞0…（9分）
∴①a=0時  B={x|x＜-1}，滿足 A∩B=∅
②a＞0時  B={x|x＜-1或x＞

2

a

}
∵A∩B=∅∴

2

a

≥

9

8

⇒a≤

16

9

③a＜0時，不等式（ax-2）（x+1）＞0的解集在兩個負數之間，滿足 A∩B=∅
綜上，a的取值范圍是a≤

16

9

…12分．

點評：本題考查函數單調性的證明，函數的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．