Question

已知函數(shù)f（x）=（2+a）x+a²lnx，g（x）=x²+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；
（Ⅲ）設(shè)b=2a²+2a，若對(duì)任意給定的x₀∈（0，1]，總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得g（x_i）+f（x₀）=0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；
（Ⅲ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得g（x_i）+f（x₀）=0成立，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=2+a+

a2

x

，x＞0，
∴當(dāng)2+a≥0，即a≥-2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)2+a＜0，即a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，-

a2

2+a

)，
單調(diào)遞減區(qū)間是(-

a2

2+a

，+∞)．
（Ⅱ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）的公共點(diǎn)為（x₀，y₀），
則

(2+a)x0+a2lnx0=x02+2x0+b 2+a+ a2 x0 =2x0+2.

消去x₀，得b=a²lna．
又b′=2a(lna+

1

2

)，
故b=a²lna在(0，

1

e

)上遞減，在(

1

e

，+∞)上遞增．
故b的最小值為-

1

2e

．
（III）當(dāng)x₀∈（0，1]時(shí)，f′(x)=2+a+

a2

x

≥2+a+a2＞0，
故f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x₀）∈（-∞，2+a]，-f（x₀）∈[-2-a，+∞）．
由題意得，函數(shù)g（x）的最小值b-1=2a²+2a-1＜-2-a，
∴2a²+3a+1＞0，
∴-1＜a＜-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．