Question

已知數列{a_n}滿足a₂=-

1

7

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）求a₁的值；
（2）求證：數列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比數列；
（3）設c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：對任意的n∈N^*，T_n＜

2

3

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推式和已知即可得出；
（2）兩邊取倒數，再變形和利用等比數列的定義和通項公式，即可得到結論．
（3）利用放縮法和等比數列的前n項和公式即可得出結論．

解答： （1）解：由a₂=

a1

a1-2

=-

1

7

，解得a₁=

1

4

 …（2分）
（2）證明：∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]，
∵

1

a1

-1=3≠0，…（6分）
∴數列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以3為首項，公比為-2的等比數列．…（7分）
（3）解：由（2）得

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1．…（8分）
∴

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）ⁿ，
∴a_n=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

，…（10分）
∴c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

•（-1）^n-1=

1

3•2n-1+1

＜

1

3•2n-1

．…（12分）
∴T_n＜

1 3 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

2

3

[1-(

1

2

)n]＜

2

3

．…（14分）

點評：熟練掌握遞推式的意義、取倒數法、再變形和利用等比數列的定義和通項公式、放縮法和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．