Question

【題目】設函數f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數的底數.

（1）討論f(x) 的單調性；

（2）證明：當x＞1時，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在區間（1，+∞）內恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

試題分析：本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性，最值、解決恒成立問題，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，對求導，對a進行討論，判斷函數的單調性；第二問，利用導數判斷函數的單調性，判斷最值，證明結論，第三問，構造函數= （），利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最值，從而證明結論.

試題解析：（Ⅰ）

＜0，在內單調遞減.

由=0，有.

當 時，＜0，單調遞減；

當 時，＞0，單調遞增.

（Ⅱ）令=，則=.

當時，＞0，所以，從而=＞0.

（Ⅲ）由（Ⅱ），當時，＞0.

當，時，=.

故當＞在區間內恒成立時，必有.

當時，＞1.

由（Ⅰ）有,從而，

所以此時＞在區間內不恒成立.

當時，令= （）.

當時，= .

因此在區間單調遞增.

又因為=0，所以當時，= ＞0，即＞恒成立.

綜上， .