Question

如圖，在平面直角坐標系中，點E，F是x軸上的兩個定點，|EO|=|OF|=

3

，G為坐標平面上的動點，|GF|=4，H是GE的中點，點P在線段FG上，且

HP

•

EG

=0．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+2與點P的軌跡有兩個不同的交點A，B，且

OA

•

OB

＞0，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出點P的軌跡是以E，F焦點的橢圓，由已知條件推導出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用已知條件能求出實數k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由

HP

•

EG

=0，得

HP

⊥

EG

，
又H為GE中點，∴|PE|=|PG|，
∴|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|GF|=4，
∴點P的軌跡是以E，F焦點的橢圓，
且a=2，c=

3

，b=

a2-c2

=1，
∴點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1（6分）
（Ⅱ）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x2=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

①，
且△=16（4k²-3）＞0，（8分）
若

OA

•

OB

＞0，則x₁x₂+y₁y₂＞0，
即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
整理得（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
再將①代入，得：(1+k2)

12

1+4k2

-2k

16

1+4k2

+4＞0，
整理k²-4＜0，（10分）
又∵△＞0，∴

3

4

＜k2＜4，
∴實數k的取值范圍是{k|-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2}．（12分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．