Question

已知等比數列{a_n}滿足a₃-a₁=3，a₁+a₂=3．
（Ⅰ）求數列{a_n}的前15項的和S₁₅；
（Ⅱ）若等差數列{b_n}滿足b₁=a₂，b₃=a₂+a₃，求數列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等比數列的通項公式，建立方程組，求出首項和公比，即可求數列{a_n}的前15項的和S₁₅；
（Ⅱ）根據等差數列{b_n}的通項公式，求出首項和公差，即可求數列{b_n}的前n項的和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵比數列{a_n}滿足a₃-a₁=3，a₁+a₂=3，
則

a1q2-a1=3 a1+a1q=3

，即

q2-1

1+q

=q-1=1，解得q=2，a₁=1，
則數列{a_n}的前15項的和S₁₅=

1-215

1-2

=215-1．
（Ⅱ）∵q=2，a₁=1，
∴a_n=2ⁿ，
若等差數列{b_n}滿足b₁=a₂，b₃=a₂+a₃，
則b₁=a₂=4，b₃=a₂+a₃=4+8=12，
則b₃=b₁+2d，
即12=4+2d，解得d=4，
則數列{b_n}的前n項的和T_n=nb1+

n(n-1)

2

d=4n+

n(n-1)

2

×4=2n²+2n．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式的計算，根據條件建立方程組關系求出相應的首項和公差，公比是解決本題的關鍵．