Question

【題目】已知函數f（x）= （a≠0）．
（1）試討論y=f（x）的極值；
（2）若a＞0，設g（x）=x2emx ， 且任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）≥﹣1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ ，

a＞0時，當x=﹣1時，f（x）的極小值為f（﹣1）=﹣ ，

當x=1時，f（x）的極大值為f（1）= ，

a＜0時，當x=﹣1時，f（x）的極大值為f（﹣1）=﹣ ，

當x=1時，f（x）的極小值為f（1）=

（2）解：方法一：由題意知，x1，x2∈[0，2]，

f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），

x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，

x∈[0，2]，x2emx≤1，m≤﹣ ，m≤{﹣ }min，m≤﹣ln2，

方法二：分類討論

x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，

∴x∈[0，2]，gmax（x）≤1，

g（x）=x2emx，g′（x）=emxx（mx+2），

1）當m≥0時，g（x）在[0，2]上單調遞增，

gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍），

2）當﹣1＜m＜0時，g（x）在[0，2]上單調遞增，

gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2，

∴﹣1＜m≤﹣ln2，

3）當m≤﹣1時，g（x）在[0，﹣ ]上單調遞增，在[﹣ ，2]上單調遞減，

gmax（x）=g（﹣ ）= ≤1，解得：m≤﹣ ，∴m≤﹣1，

綜合得：m≤﹣ln2．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的極值即可；（2）結合題意得到f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），法一：分離參數問題轉化為m≤﹣ ，從而求出m的范圍即可；法二：通過分類討論求出m的范圍即可．
【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．