Question

【題目】已知函數．

（1）將函數寫成分段函數的形式，并畫出函數的大致圖像；

（2）求證：函數在上是增函數；

（3）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：⑴由題意得到，畫出其圖象；

⑵先求出，運用定義法證明在上是增函數

⑶設，轉化為關于的方程在上僅有一個實根，結合圖像與性質可得或，即可求得結果

解析：（1）解：由題設得；

其圖像如下圖所示．

（2）證明：當時， ，所以， ．

任取，且，則

又，且，

所以， ， 可得，即，

因此函數在上是增函數．

（3）設．由（1）得．

且時，方程有兩個不相等的實根．

又關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，

所以關于的方程在上僅有一個實根，且1不可為其根．

由于0不是方程的根，則關于的方程在上僅有一個實根，且1不可為其根．

令．

由其圖像與性質可得或．

解得或．

所以所求實數的取值范圍是．