Question

【題目】設函數 ．
（Ⅰ）求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）若 對 恒成立，求實數 的取值范圍；
（Ⅲ）求整數 的值，使函數 在區間 上有零點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

∴ ，∴所求切線方程為 ，即

（Ⅱ）∵ ，對 恒成立，∴ ，

設 ，令 ，得 ，令 得 ，

∴ 在 上遞減，在 上遞增，

∴ ，∴

（Ⅲ）令 得 ，當 時， ，

∴ 的零點在 上，

令 得 或 ，∴ 在 上遞增，又 在 上遞減，

∴方程 僅有一解 ，且 ，

∵ ，

∴由零點存在的條件可得 ，∴

【解析】(I)根據導數的幾何意義可求；
（II）函數含參恒成立問題，轉化成求函數的最值問題，先分離參數a<,再構造函數,求導，確定函數的單調性，進而得到函數g(x)的最小值即可；
（III）函數的零點就是方程的解，也是兩個函數的交點，因此先轉化成兩個函數，確定交點位置， F ( x ) 的零點在 ( 0 , + ∞ ) 上，再根據函數的單調性確定零點個數，后根據零點存在性定理確定零點位置即可。