Question

【題目】如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．

（Ⅰ）證明：面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．

（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ ）取中點，連結、，

∵ ，，

∴ 四邊形是平行四邊形，

∵ ，，，

∴ ，

∴ ，∴，

在中，，

又∵ 為的中點，∴，

又∵ ，∴．

解：（Ⅱ）∵，，，

∴ ，

以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

設，則，，，，

∴ ，，，

設面的法向量，

則，取，得，

同理，得平面的法向量，

設二面角的平面角為，

則，

∴ 二面角的余弦值為．