Question

【題目】已知數列的前項和為.數列滿足，.

（1）若，且，求正整數的值；

（2）若數列，均是等差數列，求的取值范圍；

（3）若數列是等比數列，公比為，且，是否存在正整數，使，，成等差數列，若存在，求出一個的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.

【解析】

（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）設出數列，的首項和公差，代入原式化簡得一個含n的恒等式，所以對應系數相等得到；（3）當時，，，為，，成等差數列.

解：（1）因為，且

所以

解得

（2）記數列，首項為，公差為；數列，首項為，公差為

則，

化簡得：

所以

所以的取值范圍

（3）當時，，，為，，成等差數列.

下面論證當時，，，不成等差數列

因為，所以

所以，所以

所以

若，，成等差數列，則

所以，所以，解得

當時，，，為，，

因為

所以

所以當時，，，不成等差數列

綜上所述：存在且僅存在正整數時，，，成等差數列