Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值；

（Ⅱ）若在處取得極大值，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當a=2時，若函數有3個零點，求m的取值范圍．（只需寫出結論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，由點處的切線與軸平行可得，即可求出實數；

（Ⅱ）對函數求導可得，令導數等于零，解得，，分類討論與的大小，即可求出實數的范圍，使得在處取得極大值；

（Ⅲ）對求導，分別討論大于零和小于零時函數的單調性，結合單調性，討論函數極值的正負，即可求出使函數有3個零點時，的取值范圍。

（Ⅰ）函數的定義域為．．

因為曲線在點處的切線與x軸平行，

所以，解得．此時，所以的值為．

（Ⅱ）因為，

①若，

則當時，，所以；

當時，，所以．

所以在處取得極大值．

②若，則當時，，

所以．所以不是的極大值點．

綜上可知，的取值范圍為．

（Ⅲ）當時，，

，

當時，函數，不可能3個零點；

①當時，令，解得：，

令，得，則在區間上單調遞增；

令，解得：或，則在區間和上單調遞減；

由于當時，恒成立，， ，則當時， 恒成立，所以函數最多只有兩個零點，即不滿足題意；

②當時，令，解得：，

令，得：或，則在區間和上單調遞增；

令，解得：，則在區間上單調遞減；

要使函數有3個零點，則 ，解得：

綜上所述的取值范圍為 ．