Question

【題目】設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1,1）的距離與點(diǎn)P到直線x= - 1的距離之和的最小值為M，若B（3,2），記|PB|+|PF|的最小值為N，則M+N= ______________

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1,1）的距離與點(diǎn)P到直線x= - 1距離之和最小，由兩點(diǎn)間的距離公式可得M；

當(dāng)P、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PB|+|PF|最小，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．

可得拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，

∴點(diǎn)P到點(diǎn)A（﹣1，1）的距離與點(diǎn)P到直線x＝﹣1的距離之和

等于P到點(diǎn)A（﹣1，1）的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和，

當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小，且M=|AF|，

由兩點(diǎn)間的距離公式可得M=|AF|；

由拋物線的定義可知|PF|等于P到準(zhǔn)線x＝﹣1的距離，

故|PB|+|PF|等于|PB|與P到準(zhǔn)線x＝﹣1的距離之和，

可知當(dāng)P、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小，

最小距離N為3﹣（﹣1）＝4,

所以M+N=，

故答案為.