【題目】已知函數
(
為自然對數的底數).
(Ⅰ)若函數
的圖象在
處的切線為
，當實數
變化時，求證：直線經過定點；
(Ⅱ)若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)見解析. (2)
.
【解析】分析：(Ⅰ)利用導數求出切線斜率，點斜式可得切線方程為直線
的方程為
，可得直線經過定點
；(Ⅱ)分兩種情況討論
的范圍，函數有兩個極值點等價于
有兩個不同的解，分別利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理與函數圖象，列不等式可篩選出函數
有兩個極值點的實數的取值范圍.
詳解：(Ⅰ)∵
，∴
，
.
又∵
，∴直線的方程為，
∴直線經過定點(-2，0).
(Ⅱ)∵，∴.
設
，則
.
當
時，
，即
在
上單調遞增，則最多有一個零點，函數至多有一個極值點，與條件不符；
當
時，由
，得
.
當
時，；當
時，
.
∴在
上單調遞增，在
上單調遞減，
∴
，即
.
令
，解得
.
∵
，，∴
，
∵
在上單調遞增，∴在上有唯一零點
，
當
時，
；當
時，
.
∴在上有唯一極值點.
又∵當時，
.
設
，其中
，則
，
∴
，∴
.
即當時，
，
而 ，
∵在上單調遞減，∴在上有唯一零點
，
當
時，；當
時，.
∴在上有唯一極值點.
綜上所述，當有兩個極值點時，.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知
，
，求證：
.
證明：構造函數
，
即
.
因為對一切
，恒有
，
所以
，從而得.
（1）若
，
，請寫出上述結論的推廣式；
（2）參考上述證法，對你推廣的結論加以證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，頂點
在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為
，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（ ）（參考公式：
）
A. 2B. 
C. 4D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
,
，其中
且
，
為自然對數的底數.
（1）求函數
的單調區間和極值；
（2）是否存在
，對任意的
，任意的
，都有
？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，頂點
在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為
，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（參考公式：
）（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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