Question

【題目】已知函數,，其中且，為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）是否存在，對任意的，任意的，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，，無極小值;

當時，函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，，無極大值.

（2）存在滿足題意.

【解析】

(1)求出導數，分和討論函數的單調區間和極值.

(2)由題意可得，利用導數求出和，解關于的不等式即可.

（1）（且）.

當時，由可得且；由可得,

函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，

，無極小值.

當時，由可得；由可得且,

函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，

，無極大值.

綜上，當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，，，無極小值;

當時，函數的單調遞減區間是，，單調遞增區間是，，無極大值.

（2）由題意，只需.

由（1）知當，時，

函數在上單調遞減，在上單調遞增，

故.

，.

當，時，

由可得；由可得.

函數在上單調遞增，在上單調遞減，

.

故，不等式兩邊同乘以，得，

故.

，.

存在滿足題意.