Question

已知平面直角坐標系內三點O（0，0），A（1，1），B（4，2）
（Ⅰ）求過O，A，B三點的圓的方程，并指出圓心坐標與圓的半徑．
（Ⅱ）求過點C（-1，0）與條件（Ⅰ）的圓相切的直線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出圓心坐標，分別求出線段OA與OB的垂直平分線，求出兩直線的交點即為圓心坐標，求出圓心與O點的距離即為圓的半徑，寫出圓的標準方程即可；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：當斜率不存在時，直線x=-1滿足題意；當斜率存在時，設為k，表示出切線方程，根據直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑求出k的值，確定出此時切線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵O（0，0），A（1，1），B（4，2），
∴線段OA中點坐標為（

1

2

，

1

2

），線段OB的中點坐標為（2，1），k_OA=1，k_OB=

1

2

，
∴線段OA垂直平分線的方程為y-

1

2

=-（x-

1

2

），線段OB垂直平分線的方程為y-1=

1

2

（x-2），
聯立兩方程解得：

x=4 y=-3

，即圓心（4，-3），半徑r=

42+(-3)2

=5，
則所求圓的方程為x²+y²-8x+6y=0，圓心是（4，-3）、半徑r=5；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：當切線方程斜率不存在時，直線x=-1滿足題意；
當斜率存在時，設為k，切線方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圓心到切線的距離d=r，即

|5k+3|

k2+1

=5，
解得：k=

8

15

，
此時切線方程為y=

8

15

（x+1），
綜上，所求切線方程為x=-1或y=

8

15

（x+1）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，以及直線的點斜式方程，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．