Question

已知平面直角坐標系內有三點A（sinx，1），B（cosx，2a），C（a，1），x∈[-

π

4

， 

3π

4

]，若函數f(x)=

AC

•

BC

的最大值為g（a），求函數g（a）的最小值．

Answer 1

分析：先根據A，B，C的坐標表示出函數f（x）的解析式，進而設出sinx+cosx=t，用t表示出函數的解析式，根據三角函數的性質求得t的范圍，進而對a進而分類討論，分別看當a≤

2

2

和a＞

2

2

時，根據二次函數的性質求得函數f（x）的最大值g（a），進而根據g（a）的解析式求得函數g（a）的最小值．

解答：解：f(x)=

AC

•

BC

=(a-sinx，0)•(a-cosx，1-2a)=（a-sinx）•（a-cosx）=sinxcosx-a（sinx+cosx）+a²
令sinx+cosx=t，則sinxcosx=

t2-1

2

∴y=f(x)=

t2-2at+2a2-1

2

=

(t-a)2+a2-1

2

∵x∈[-

π

4

， 

3π

4

]
∴t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[0，

2

]
當a≤

2

2

時，ymax=

2 2-2a 2 +2a2-1

2

=(a-

2

2

)2
當a＞

2

2

時，ymax=

2a2-1

2

=a2-

1

2

∴g(a)=

(a- 2 2 )2    a≤ 2 2 a2- 1 2          a＞ 2 2

當a≤

2

2

時，[g(a)]min=g(

2

2

)=0，
當a＞

2

2

時，g（a）＞0
∴[g（a）]_min=0

點評：本題主要考查了三角函數的最值問題，數量積的坐標表達式以及兩角和與差的正弦函數等．考查了學生函數思想，分類討論思想和基本的運算能力．