Question

【題目】某電影院共有1000個座位，票價不分等次，根據影院的經營經驗，當每張票價不超過10元時，票可全售出；當每張票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出，為了獲得更好的收益，需給影院定一個合適的票價，需符合的基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價定為1元的整數倍；②電影院放一場電影的成本費用支出為5750元，票房的收入必須高于成本支出，用x（元）表示每張票價，用y（元）表示該影院放映一場的凈收入（除去成本費用支出后的收入）

問：

（1）把y表示為x的函數，并求其定義域；

（2）試問在符合基本條件的前提下，票價定為多少時，放映一場的凈收人最多？

Answer 1

【答案】（1）（2）當每張票定為22元時，放映一場電影的利潤最高，最高為8330元．

【解析】

試題分析：（1）因為影院放映一場電影的成本費用為5750元，所以票房收入必須高于成本費用，所以一張電影票的價格大于，所以一張電影票的最低價格為6元 ，當時，票可全售出，y=1000x-5750.當每張票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出，所以y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x2+1300x-5750，因為，所以，

又∵x為大于10的整數，∴10＜x≤38．（2）求分段函數兩段的最大值，大的即為凈收人最大值。

試題解析：（1）∵影院放映一場電影的成本費用為5750元，票房收入必須高于成本費用，∴票房收入大于5750元，

∵該影院共有l000個座位，∴一張電影票的價格大于5.75元，

又∵票價為l元的整數倍，∴該院一張電影票的最低價格為6元

∵，∴，

又∵x為大于10的整數，∴10＜x≤38．

∴；

（2）當票價不超過10元時：y=1000x-5750，∵1000＞0，

∴隨的增大而增大，∴當時，的值最大，

此時（元）；

當票價高于10元時，y=-30x2+1300x-5750，

∴當時，的值最大，

此時（元）．

綜上可知，當每張票定為22元時，放映一場電影的利潤最高，最高為8330元．