Question

【題目】已知函數．

（1）判斷f（x）的奇偶性，說明理由；

（2）當x＞0時，判斷f（x）的單調性并加以證明；

（3）若f（2t）-mf（t）＞0對于t∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）偶函數，理由見解析；（2）在上是增函數，證明見解析；（3）.

【解析】

(1)利用與的關系,結合定義域判斷奇偶性,即可得出答案.(2)換元法,轉化成對勾函數,結合對勾函數性質,即可.(3)代入的解析式,建立關于s的新函數，結合該函數單調性，計算最值，即可得出答案。

（1）∵函數f（x）=3x+，定義域R，關于原點對稱，

且對一切x∈R，都有f（-x）=3-x+=+3x=f（x）成立，

∴f（x）是偶函數．

綜上所述：f（x）是偶函數．

（2）函數f（x）=3x+在（0，+∞）上是增函數，

令3x=t，當x＞0時，t＞30=1，則y=g(t)=t+，

設1<t1＜t2，

g（t1）-g（t2）=（t1+）-（t2+）=（t1t2-1），

又由a∈（0，）且1<t1＜t2，

則＜0，t1t2-1>0，

則g（t1）-g（t2）<0，

函數y=t+在t∈（1，+∞）上是增函數，

即函數f（x）在（0，+∞）上為增函數．

（3）∵函數f（x）=3x+，

∴f（2t）-mf（t）＞0對于t∈（0，+∞）恒成立，

等價于：m（3t+）＜32t+對于t∈（0，+∞）恒成立，

即m（3t+）＜（3t+）2-2對于t∈（0，+∞）恒成立，

∵3t+＞0，∴m＜3t+-對于t∈（0，+∞）恒成立，

令3t+=s，∵t∈（0，+∞），

∴由（2）知：s＞2，則m＜s-對于s∈（2，+∞）恒成立，

記y=s-，在s∈（2，+∞）上是增函數，

∴y＞2-=1，

∴m≤1

即m的取值范圍為（-∞，1]，

綜上所述：m的取值范圍是（-∞，1]．