Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為菱形，，側面是邊長為的正三角形，側面底面．

（）設的中點為，求證：平面．

（）求斜線與平面所成角的正弦值．

（）在側棱上存在一點，使得二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（）見解析；（）；（）．

【解析】試題分析：（I）由Q為側面正三角形PAB的邊AB的中點，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性質定理即可證明線面垂直；（II）通過結論空間直角坐標系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出；（III）利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角，進而解出．

解析：

（）證明：∵側面是正三角形，中點為，

∴，

∵側面底面，

側面底面，

側面，

∴平面．

（）連接，設點，

以為原點，，過點且垂直于平面的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，

，，，，，，

平面的法向量，

設斜線與平面所成角為，

則．

（）設，

，，

，

設平面的法向量為，

∴，，

，

取，，

又∵平面的法向量，

∴，

∴，

解出（舍去）或，

此時．