Question

【題目】已知等腰梯形中（如圖1），， ， 為線段的中點， 為線段上的點， ，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）．

圖1 圖2

⑴求證： 平面；

⑵在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接，由可得，即可證∥且，然后即可證出四邊形為平行四邊形，進而可證明平面；（2）作于，連接，在中，可得，在中，可得，結(jié)合，推出，再由，推出平面，即可得到為與平面所成的角，再根據(jù)余弦定理得出，進而可求出的值，即直線與平面所成角的正弦值．

試題解析：（1）證明：連接

∵

∴

∴∥，且

又∵∥，且

∴∥，且

∴四邊形為平行四邊形

∴∥

又∵面， 面

∴∥面

(2)作于，連接，在中，易知，而

∴，

在中， ，易知

又∵

∴

在中， ， ，

∴

∴

又∵， ， 平面， 平面

∴平面

∴為在平面內(nèi)的射影

∴為與平面所成的角

在中，易知

∴

在中，

∴，即與平面的所成的角的正弦值為.