Question

【題目】設 是由組成的行列的數表（每個數恰好出現一次），且．

若存在， ，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，則稱數表為一個“數表”為數表的一個“值”，

對任意給定的，所有“數表”構成的集合記作．

判斷下列數表是否是“數表”．若是，寫出它的一個“值”；

，

(Ⅱ)求證：若數表是“數表”，則的“值”是唯一的；

(Ⅲ)在中隨機選取一個數表，記的“值”為，求的數學期望．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：

試題解析：（Ⅰ根據定義可得）是“數表 ”，其“值”為3， 不是“數表”.

（Ⅱ）假設和均是數表的“值”，則分①若， ②若，③若， ，三種情況討論，得出矛盾. 即若數表是“數表”，則其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：對任意的由， ， ，…， 組成的行列的數表.

定義數表如下，將數表的第行，第列的元素寫在數表的第行，第列，即（其中， ），討論其性質；定義數表如下，其與數表對應位置的元素的和為362，即（其中， ）

討論其性質，記，則，即數表與數表的“值”之和為，

的數學期望.

方法2：

所有可能的取值為.

記中使得的數表的個數記作， ，則

.

則，由此可求出的數學期望．

（Ⅰ）是“數表 ”，其“值”為3， 不是“數表”.

（Ⅱ）假設和均是數表的“值”，

①若，則；

②若，則；

③若， ，則一方面

，

另一方面

；

矛盾. 即若數表是“數表”，則其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：

對任意的由， ， ，…， 組成的行列的數表.

定義數表如下，將數表的第行，第列的元素寫在數表的第行，第列，即

（其中， ）

顯然有：

①數表是由， ， ，…， 組成的行列的數表

②數表的第行的元素，即為數表的第列的元素

③數表的第列的元素，即為數表的第行的元素

④若數表中， 是第行中的最大值，也是第列中的最小值

則數表中， 是第列中的最大值，也是第行中的最小值.

定義數表如下，其與數表對應位置的元素的和為362，即

（其中， ）

顯然有

①數表是由， ， ，…， 組成的行列的數表

②若數表中， 是第列中的最大值，也是第列中的最小值

則數表中， 是第列中的最小值，也是第列中的最大值

特別地，對由， ， ，…， 組成的行列的數表

①數表是由， ， ，…， 組成的行列的數表

②若數表中， 是第行中的最大值，也是第列中的最小值

則數表中， 是第列中的最小值，也是第列中的最大值

即對任意的，其“值”為（其中， ），則，且其“值”為.

記，則，即數表與數表的“值”之和為，

故可按照上述方式對中的數表兩兩配對，使得每對數表的 “值”之和為，

故的數學期望.

方法2：

所有可能的取值為.

記中使得的數表的個數記作， ，則

.

則，則

，

故， .