Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，圓的方程為，動圓與圓內切且與圓外切.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程；

(2)已知與為平面內的兩個定點，過點的直線與軌跡交于,兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)6

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得到動圓圓心的軌跡的方程；（2）設的方程為，聯立可得，通過根與系數的關系表示弦長進而得到四邊形面積的表達式，利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析：

(1)設動圓的半徑為，由題意知

從而有，故軌跡為以為焦點，長軸長為4的橢圓，

并去 除點，從而軌跡的方程為.

（2）設的方程為，聯立，

消去得，設點，

有則，

點到直線的距離為，點到直線的距離為，

從而四邊形的面積

令，有，函數在上單調遞增，

有，故，即四邊形面積的最大值為.