Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）對任意a∈[-1，+∞），f（x）在區間（0，2）單調增，求b的最小值；
（3）若a=1，且過點（-2，0）能作f（x）的三條切線，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意：f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②由①②解得：

a=4 b=-11

，或

a=-3 b=3

；從而當

a=4 b=-11

時函數f（x）在x=1處有極小值故b=-11，
（2）f′（x）=3x²+2ax+b≥0對?a∈[-1，+∞），x∈（0，2）恒成立記h（a）=3x²+2ax+b=（2x）a+3x²+b，從而h（a）_min=h（-1）≥0又設H（x）=3x²-2x+b，進而求出b≥

1

3

，
（3）當a=1時，f（x）=x³+x²+bx+1，從而切線斜率為f′（x₀）=3x02+2x₀+b=

f(x0)

x0+2

，由2x03+7x02+4x₀+2b-1=0，記F（x₀）=2x03+7x02+4x₀+2b-1，過點（-2，0）能作f（x）三條切線等價于F（x₀）有三個零點，而F′（x₀）=6x02+14x₀+4=2（3x₀+1）（x₀+2），找到單調區間，得出不等式組，解出b的范圍即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意：
f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②
由①②解得：

a=4 b=-11

，或

a=-3 b=3

；
經檢驗當

a=-3 b=3

時無極值點，
當

a=4 b=-11

時函數f（x）在x=1處有極小值，故b=-11，
（2）f′（x）=3x²+2ax+b≥0對?a∈[-1，+∞），當x∈（0，2）恒成立
記h（a）=3x²+2ax+b=（2x）a+3x²+b，
∴h（a）_min=h（-1）=3x²-2x+b≥0
又設H（x）=3x²-2x+b，
當x∈（0，2）時H（x）_min=H（

1

3

）=-

1

3

+b≥0，
b≥

1

3

，
∴b的最小值為

1

3

，
（3）：當a=1時，f（x）=x³+x²+bx+1，
設切點為P（x₀，y₀），
則切線斜率為f′（x₀）=3x02+2x₀+b=

f(x0)

x0+2

，
∴2x03+7x02+4x₀+2b-1=0，
記F（x₀）=2x03+7x02+4x₀+2b-1，
過點（-2，0）能作f（x）三條切線等價于F（x₀）有三個零點
F′（x₀）=6x02+14x₀+4=2（3x₀+1）（x₀+2）

x0	（-∞，-2）	（-2，- 1 3 ）	（- 1 3 ，+∞）
F′（x0）	正	負	正
F（x0）	增	減	增

令

F(-2)＞0 F(- 1 3 )＜0

，
即

2b+3＞0 2b- 44 27 ＜0

，
∴b∈（-

3

2

，

22

27

）．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，滲透了中思想，是一道綜合題．