Question

定義在R上的函數f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）在x=±1處有極值，且其圖象過點（0，3）
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）設函數g（x）=f′（x）+4lnx-6x+1，若函數y=g（x）的圖象與直線y=m有三個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數解析式的求解及常用方法

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=x²+2bx+c，得：

1-2b+c=0 1+2b+c=0

，解得：b=0，c=-1，把b=0，c=-1，點（0，3）代入函數不等式，從而函數的不等式為：f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，因此g（x）=x²+4lnx-6x，（x＞0），通過求導得出g（x）_極大值=g（1）=-5，g（x）_極小值=g（2）=4ln2-8，從而m的范圍是：{m|4ln2-8＜m＜-5}．

解答： 解；（Ⅰ）∵f′（x）=x²+2bx+c，
由題意得：

1-2b+c=0 1+2b+c=0

，
解得：b=0，c=-1，
把b=0，c=-1，點（0，3）代入函數不等式，
解得：d=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，
∴g（x）=x²+4lnx-6x，（x＞0）
∴g′（x）=2x+

4

x

-6，
當g′（x）＞0時，解得：x＞2，或x＜1，
當g（x）＜0時，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，
∴g（x）_極大值=g（1）=-5，g（x）_極小值=g（2）=4ln2-8，
∴m的范圍是：{m|4ln2-8＜m＜-5}．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，函數的交點問題，滲透了數形結合思想，是一道綜合題．