Question

已知函數f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m，（m∈R，A∈R）
（Ⅰ）求函數y=f（x）在區間[a，a+1]上的最小值；
（Ⅱ）當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分別對a≥2，a＜2＜a+1，a+1≤2，三種情況討論，根據對稱軸的位置確定函數的最小值的表達式．
（2）對m＞0，m＜0時根據二次函數的性質確定m的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）的對稱軸為x=2，
當a≥2時，函數f（x）_min=f（a）=a²-3a+3，
當a＜2＜a+1，即1＜a＜2時，f（x）_min=f（2）=a-1，
當a+1≤2，即a≤1時，f（x）_min=f（a+1）=a²-a，
（2）當a=0時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴當x∈[1，4]時，f（x）∈[1，3]，記A=[1，3]，
由題意，m≠0，
當m＞0時，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上 增函數，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，記B=[5-m，5+2m]．
由題意知A⊆B，
∴

-1≥5-m 3≤5+2m m＞0

，求得m≥6，
當m＜0時，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是減函數，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，記C=[5+2m，5-m]，
由題意，知A⊆C，
∴

-1≥5+2m 3≤5-m m＜0

，解得m≤-3，
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，3]∪[6，+∞）．

點評：本題主要考查了二次函數的性質．解題的關鍵是對函數對稱軸，開口方向，頂點等問題的關注．