Question

【題目】已知曲線上的點到二定點、 的距離之和為定值，以為圓心半徑為4的圓與有兩交點，其中一交點為， 在y軸正半軸上，圓與x軸從左至右交于二點， ．

(1)求曲線、的方程；

(2)曲線，直線與交于點，過點的直線與曲線交于二點，過做的切線， 交于．當在x軸上方時，是否存在點，滿足，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) 必存在兩個滿足題設條件的點.

【解析】試題分析：(1) 設，布列方程組，即可得到曲線、的方程;

(2) 由題設知， 得，則,

，∵交于∴, ∴，同理，∴在直線上，進而就可得到滿足題意的點.

試題解析：

(1)由題設知，曲線是定點、為焦點的橢圓

設

則，即 則， ，

∵，

∴ ∴即

∴

∴， ，

∴,

(2)存在點，滿足．下面證明之．

由題設知， 得,又知

設點

則,

∵, ∴

∵交于∴, ∴

同理 ∴在直線上

∴ ∵在上 ∴

即點為直線上的點

由得

知為橢圓上的點,即為橢圓和直線的公共點．

將坐標代入方程左端得

即上的點在橢圓內部 ∴與橢圓必有二公共點

∴必存在兩個滿足題設條件的點．