Question

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0
（1）設動點P滿足(

PF

+

PB

)(

PF

-

PB

)=13，求點P的軌跡方程；
（2）設x₁=2，x2=

1

3

，求點T的坐標；
（3）若點T在點P的軌跡上運動，問直線MN是否經過x軸上的一定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）由橢圓

x2

9

+

y2

5

=1可得：a²=9，b²=5，c=

9-5

=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
設P（x，y），則

PF

=（2-x，-y），

PB

=（3-x，-y）．
∵滿足(

PF

+

PB

)•(

PF

-

PB

)=13，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化簡得x=9，
故P的軌跡方程為x=9
（2）由x1=2，

x 21

9

+

y 21

5

=1及y₁＞0得y1=

5

3

，則點M(2，

5

3

)，
從而直線AM的方程為y=

1

3

x+1；
同理可以求得直線BN的方程為y=

5

6

x-

5

2

聯立兩方程可解得x=7，y=

10

3

∴點T的坐標為(7，

10

3

)．
（3）假設直線MN過定點，由T在點P的軌跡上，T（9，m）
直線AT的方程為y=

m

12

(x+3)，直線BT的方程為y=

m

6

(x-3)
點M（x₁，y₁）滿足

y1= m 12 (x1+3) x 21 9 + y 21 5 =1

得

(x1-3)(x1+3)

9

=-

m2

122

•

(x1+3)2

5

，
又x₁≠3，解得x1=

240-3m2

80+m2

，從而得y1=

40m

80+m2

．
同理：x₂=

3m2-60

m2+20

，y₂=

-20m

m2+20

．
∴直線MN的方程：y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

(x-

3m2-60

m2+20

)，