Question

已知離心率為

6

3

的橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與圓C：x²+（y-3）²=4交于A，B兩點，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過交點B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與圓C：x²+（y-3）²=4交于A，B兩點，
且∠ACB=120°，C在AB上方，
連接AB，由對稱性知：AB∥x軸，且A，B關于y軸對稱，
∴C（0，3），|AC|=|AB|=2，
∴|AB|=

4+4-2×4×cos120°

=2

3

，
∴C到AB的距離d=

4-3

=1，∴A（-

3

，2），B(

3

，2)，（2分）
∴

3

a2

+

4

b2

=1，e=

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
解得：a²=15，b²=5，（4分），
∴橢圓E：

x2

15

+

y2

5

=1．（5分）
（2）設過點B的直線l：y-2=k(x-

3

)，（6分）
與橢圓的另一個交點為N（x₁，y₁），與圓的另一個交點M（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程消去y得：
(3k2+1)x2-3k(

3

k-2)x+9k2-12

3

k-3=0
∴

3

x1=

9k2-12 3 k-3

3k2+1

，解得x1=

3 3 k2-12k- 3

3k2+1

，
同理：x2=

3 k2+2k- 3

k2+1

，（8分）
若直線截兩種曲線所得到的弦長相等，則B為M，N中點，
∴x1+x2=2

3

，（9分）
即：

3 3 k2-12k- 3

3k2+1

+

3 k2+2k- 3

k2+1

=2

3

，
化簡整理有：3k3+4

3

k2+5k+2

3

=0，
分解因式：3k3+3

3

k2+

3

k2+5k+2

3

=(k+

3

)(3k2+

3

k+2)=0
解得k=-

3

，∴存在直線l：y=-

3

x+5滿足條件．（12分）