Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax（a∈R），g（x）= （f′（x）為f（x）的導函數），若方程g（f（x））=0有四個不等的實根，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解析】解：當a=0時，可知方程g（f（x））=0有且只有一個根；
當a≠0時，
∵f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a；
∴g（x）= ，
當f（x）≥0時，f2（x）+af（x）=0，
∴f（x）=0或f（x）=﹣a，
即x2+ax=0或x2+ax=﹣a；
由x2+ax=0可解得x=0或x=﹣a；
當a＞0時，方程f（x）=﹣a無解；
當a＜0時，方程f（x）=﹣a可化為x2+ax+a=0，
而△=a2﹣4a＞0；
故方程x2+ax+a=0有兩個不同的根，
且0，﹣a不是方程x2+ax+a=0的根；
當f（x）＜0時，2f（x）+a=0，
當a＜0時，方程2x2+2ax+a=0沒有實數根；
當a＞0時，△=4a（a﹣2），
當a=2時，方程有且只有一個實數根；
當a＞2時，方程2x2+2ax+a=0有兩個不同的實數根；
綜上所述，
當a＜0或a＞2時，方程g（f（x））=0有四個不等的實根；
故a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（2，+∞）；
所以答案是：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．