Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求證：數列{an}為等比數列的充要條件為q＝－1.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

充要條件的證明從充分性和必要性兩個方向去證明。充分性：當q＝－1時，a1＝p－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當n＝1時也成立．得出。必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q；當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1。

充分性：當q＝－1時，a1＝p－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當n＝1時也成立．∵p≠0且p≠1，∴＝＝p，即數列{an}為等比數列．必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q；當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，∵p≠0且p≠1，∴＝＝p.∵{an}為等比數列，∴＝p，即a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1.故數列{an}為等比數列的充要條件為q＝－1.