Question

【題目】已知正項數列中，，點在拋物線上.數列中，點在經過點，以為方向向量的直線上.

（1）求數列，的通項公式；

（2）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）對任意的正整數，不等式成立，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）將坐標代入拋物線方程得數列是等差數列，從而得通項公式，求出直線方程后可得；

（2）分類討論，按的奇偶性分類討論即可求解；

（3）不等式可變形為，然后設，　利用確定的單調性得其最小值，即得的取值范圍．

（1）將點代入拋物線得：

數列是等差數列.

，即

為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為

在直線上.

（2）由題

①當是偶數時，是奇數，即，

②當是奇數時，是偶數，即（舍去）.

故存在唯一的符合條件.

（3）由題，即

設，

則

，即數列是遞增數列.