Question

【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，，，圓臺的側面積為.若點C，D分別為圓，上的動點且點C，D在平面的同側.

（1）求證：；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由圓臺側面積求出上下底半徑，計算圓臺的高，計算，由直角三角形性質得；

（2）三棱錐的高就是，表示出三棱錐的體積，求出最大值時，，多面體分為三棱錐和四棱錐，分別計算體積后相加即得．

解：（1）設，的半徑分別為，，

因為圓臺的側面積為，

所以，可得.

因此，在等腰梯形中，，，.

如圖，連接線段，，，

在圓臺中，平面，平面，

所以.

又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）由題意可知，三棱錐的體積為，

又在直角三角形中，，

所以當且僅當，

即點D為弧的中點時，有最大值.

過點C作交于點M，

因為平面，平面，

所以，平面，平面，，

所以平面.

又，則點C到平面的距離，

所以四棱錐的體積.

綜上，當三棱錐體積最大值時，

多面體