Question

【題目】已知為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）若為奇數(shù)，求證：“”的充要條件是“為奇數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用遞推公式直接代入求值.

（2）分類討論當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求得的值.

（3）先證充分性（易證得），再證必要性，用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解：（1），，則前7項(xiàng)為8，4，2，1，3，5，7，故．

（2）由題設(shè)是整數(shù)．

①若為奇數(shù),可設(shè)，,則是偶數(shù)，得，

則，此時(shí)，符合題意

②若為偶數(shù),可設(shè)，,則，

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，可設(shè)，得，，

則，此時(shí)不存在．

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，可設(shè)，得，，

，則，得 ，得．

綜合①②可得，或．

（3）充分性：若為奇數(shù)，則；

必要性：先利用數(shù)學(xué)歸納法證：（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．

①，，成立；

②假設(shè)時(shí)，（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)，；當(dāng)是奇數(shù)，，此時(shí)是偶數(shù)．

綜上，由數(shù)學(xué)歸納法得（為奇數(shù)）；（為偶數(shù)）．

從而若時(shí)，必有是偶數(shù)．進(jìn)而若是偶數(shù)，則矛盾，故只能為奇數(shù)．