Question

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

(1) ,;(2)-1.

解析試題分析：(1)根據拋物線的焦點坐標滿足圓的方程確定等量關系，求解拋物線方程；根據橢圓的焦點和右定點也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關系式進行坐標轉化求出，然后通過直線與拋物線方程聯立，借助韋達定理進行化簡并求值.
試題解析：（1）由拋物線的焦點在圓上得：，，∴拋物線                           3分
同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上可解得：．
得橢圓．                                              6分
（2）是定值，且定值為－1．
設直線的方程為，則．
聯立方程組，消去得：
且   ,                        9分
由得：
整理得：,
．               14分
考點：1.拋物線和橢圓的方程；（2）直線與拋物線的位置關系；（3）向量的坐標運算.