Question

如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（Ⅰ）設直線的斜率分別為，求證：為定值；
（Ⅱ）求線段的長的最小值；
（Ⅲ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

解析試題分析：（Ⅰ）隨點運動而變化，故設點表示，進而化簡整體消去變量；（Ⅱ）點的位置由直線，生成，所以可用兩直線方程解出交點坐標，求出，它必是的函數，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐標求出圓的方程，方程必含有參數，消去一個后，利用等式恒成立方法求出圓所過定點坐標.
試題解析：（Ⅰ），令，則由題設可知，
∴直線的斜率，的斜率，又點在橢圓上，
所以，（），從而有.
（Ⅱ）由題設可以得到直線的方程為，
直線的方程為，
由，  由，
直線與直線的交點，直線與直線的交點.
又，
等號當且僅當即時取到，故線段長的最小值是.
（Ⅲ）設點是以為直徑的圓上的任意一點，則，故有
，又，所以以為直徑的圓的方程為
，令解得，
以為直徑的圓是否經過定點和.
考點：直線的交點，圓的方程，圓過定點問題，基本不等式的應用.