Question

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ) 設點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

Answer 1

(Ⅰ)拋物線的方程為；(Ⅱ)所求直線的方程為．

解析試題分析：（Ⅰ）由拋物線定義可求出；（Ⅱ）由的角平分線與軸垂直，可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數，可設的方程，利用設而不求的方法來求的斜率為，設直線的方程，利用玄長公式與點到直線距離公式得的面積，由面積最大時來確定，從而得直線的方程．
試題解析：（Ⅰ）解：設，因為，由拋物線的定義得，又，所以，
因此，解得，從而拋物線的方程為 ；
（Ⅱ）由（1）知點的坐標為，設，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數，設直線的斜率為，則，由題意，把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，由韋達定理得，即，同理，所以，
設，把代入拋物線方程得，由題意，且，從而，又，所以，點到的距離，因此，設，
則，，由知，所以在上為增函數，因此，即面積的最大值為．的面積取最大值時，所求直線的方程為．
考點：1、求拋物線方程，2、直線與二次曲線的位置關系，3、利用導數求最值．