Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

(1);(2) .

解析試題分析：(1)由拋物線的焦點求的雙曲線的焦點坐標，再由求得點坐標，再結合雙曲線的定義可得雙曲線的方程；（2）首先利用直線與圓相切求得圓，再利用弦長公式求弦長，化簡求值即可，需注意直線的形式，有無斜率需考慮.
試題解析：（1）∵拋物線的焦點為，
∴雙曲線的焦點為、，                  1分
設在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，          3分
∴，                  4分
又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得：
，∴， ∴雙曲線的方程為：．            6分
（2）為定值．下面給出說明．
設圓的方程為：， ∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：．             7分
顯然當直線的斜率不存在時不符合題意，                  8分
設的方程為，即，
設的方程為，即，
∴點到直線的距離為，
點到直線的距離為，                  10分
∴直線被圓截得的弦長，           11分
直線被圓截得的弦長，           12分
∴， 故為定值．             14分
考點：1.圓錐曲線的定義；2.直線與圓的方程；3.直線與圓的位置關系.