Question

【題目】已知函數對任意的實數都有：，且當時，有.

(1)求．

(2)求證：在上為增函數．

(3)若，且關于的不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析 (3)

【解析】

（1）令m＝n=0計算即可；（2）根據函數單調性定義進行證明，將f（x2）變形成f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1＝f（x1），從而得到函數的單調性；（3）由已知條件可將不等式變為f（ax﹣2+x﹣x2）＜2，根據f（1）＝2及f（x）在R上為增函數可轉為x2﹣（a+1）x+3＞0在[1，+∞）恒成立，通過討論對稱軸和1的大小可得答案.

(1)令,則,

∴.

(2)證明：設,且,

則．

∵,

∴，

∴．

故在上為增函數．

(3)∵，

即，

∴，

∵,

∴.

又在上為增函數,

∴．

∴對任意的恒成立.

令，

①當,即時,函數在上單調遞增，

由,得,

∴；

②當,即時,由,得，

∴.

綜上可得實數的取值范圍為．