Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，一條經過點且方向向量為的直線交橢圓于兩點，交軸于點，且．

（1）求直線的方程；
（2）求橢圓長軸長的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）直線過點且方向向量為
∴，方程為，
化簡為：
∴直線的方程為
（2）設直線和橢圓交于兩點，和軸交于，由，知，
將代入中，得……①
由韋達定理知：
由②²/③知：，化為　　……④
∵，
化簡，得，即，
∴，注意到，解得
又橢圓的焦點在軸上，則，
由④知：，結合，求得．
因此所求橢圓長軸長范圍為．
點評：中檔題，涉及橢圓與直線位置關系問題，往往利用韋達定理。本題借助于韋達定理，建立方程組后，整理得到，進一步利用求得a的范圍。