Question

（本小題滿分12分）已知拋物線：和點，若拋物線上存在不同兩點、滿足．
（I）求實數的取值范圍；
（II）當時，拋物線上是否存在異于的點，使得經過三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) 即的取值范圍為．
(2) 滿足題設的點存在，其坐標為 ． 

試題分析：解法1：(I)不妨設A，B，且，∵，
∴．∴，．
根據基本不等式（當且僅當時取等號）得
（），即，
∴，即的取值范圍為．
（II）當時，由（I求得、的坐標分別為、．
假設拋物線上存在點（,且），使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．
設經過、、三點的圓的方程為，
則 
整理得 ．                 ①
∵函數的導數為，
∴拋物線在點處的切線的斜率為，
∴經過、、三點的圓在點處的切線斜率為．
∵，∴直線的斜率存在．∵圓心的坐標為，
∴，即．      ②
∵，由①、②消去，得． 即．
∵，∴．故滿足題設的點存在，其坐標為．
解法2：(I)設，兩點的坐標為，且。
∵，可得為的中點，即．
顯然直線與軸不垂直，設直線的方程為，即，將代入中，
得．∴ 
∴． 故的取值范圍為．
（II）當時，由（1）求得，的坐標分別為．    
假設拋物線上存在點（且），使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．
設圓的圓心坐標為，                                                  
∵  ∴ 
即      解得  
∵拋物線在點處切線的斜率為，而，且該切線與垂直，
∴,即 .將,                                                     
代入上式，得,即．
∵且，∴．
故滿足題設的點存在，其坐標為 ．
點評：解決該試題的關鍵是利用拋物線的方程以及性質來分析得到結論，同時對于探索性問題，一般先假設，然后分析求解，屬于中檔題。