Question

設點A（3，

5

2

），B（4，

3

），C（-3，-

5

2

），D（5，0），其中三點在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）上，另一點在直線l上．
（1）求雙曲線方程；
（2）設直線l的斜率存在且為k，它與雙曲線的同一支分別交于兩點E、F（F點在上方，E點在下方），M、N分別為雙曲線的左、右頂點，求滿足條件S_△MDF=4S_△DNE的k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）將A、C兩點的坐標代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，能求出雙曲線方程．
（2）由題設直線l的方程為y=k（x-5），聯立

y=k(x-5) x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，由此利用韋達定理、三角形面積公式，結合已知條件能求出滿足條件S_△MDF=4S_△DNE的k的值．

解答： 解：（1）由題知點A、B、C在雙曲上，
將A、C兩點的坐標代入雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，
得

9 a2 - 5 4b2 =1 16 a2 - 3 b2 =1

，解得a²=4，b²=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
（2）由題設直線l的方程為y=k（x-5），由題意知k2＞

1

4

，
由（1）知M（-2，0），N（2，0），設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），且y₁＜0，y₂＞0，
聯立方程組

y=k(x-5) x2 4 -y2=1

，得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，
∴x1+x2=-

40k2

1-4k2

，x1x2=-

100k2+4

1-4k2

，①
∵S_△MDF=

1

2

×4×|y2|=2y1，(y2＞0)
S△DNE=

1

2

×3×|y1|=-

3

2

y1，（y₁＜0），
由條件S_△MDF=4S_△DNE，得2y2=4×(-

3

2

y1)，
∴y₂=-3y₁，
∴k（x₂-5）=-3k（x₁-5），
∴x₂=-3x₁+20，②
將②代入①，得x1-3x1+20=-

40k2

1-4k2

，
解得x1=

10-20k2

1-4k2

，∴x2=

-10-20k2

1-4k2

，
將x₁，x₂的值代入x1x2=-

100k2+4

1-4k2

，
得

10-20k2

1-4k2

•

-10-20k2

1-4k2

=-

100k2+4

1-4k2

，
解得k2=

8

7

，滿足條件k2＞

1

4

，
∴k=±

2 14

7

．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的實數k的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．